応用情報技術者試験 令和5年秋 午前問1 解説付き過去問

この問題は、2桁の2進数のビットの並びを入れ替えた場合に、その値を元の値 x を使ってどのように表せるかを問うものです。以下の手順で詳しく解説します。

1. 2桁の2進数の構造
   2進数 x₁x₂ は、上位ビット x₁ と下位ビット x₂ から構成されます。これが表す10進数の値 x は、次のように表されます。

   x = 2 × x₁ ＋ x₂

   この式を2倍すると、次のようになります。

   2x = 4 × x₁ ＋ 2 × x₂　…①

   
   
   
2. int(x2) の意味
   x を 2 で割るということは、2進数で右に 1 ビットシフトする操作に相当します。

   例えば、x₁x₂ を右シフトすると、x₁.x₂ となり、小数点以下を切り捨てた値は x₁ になります。

   つまり、int(x2) = x₁　…②

   
   
   
3. ビットを入れ替えた場合の値
   元の2進数 x₁x₂ のビットを入れ替えた x₂x₁ が表す10進数の値は、

   2 × x₂ ＋ x₁　…③

   
   
   
4. 式の変形と整理
   ①式の 2x = 4x₁ ＋ 2x₂ から、3x₁ を引くと、

   2x − 3x₁ = x₁ ＋ 2x₂（③式と一致）

   ②より、x₁ = int(x2) なので、

   2x − 3 × int(x2) が x₂x₁ を表す式となります。

   
   
   
5. 別解：具体的な値を代入して確認
   x₁ = 1、x₂ = 0 のとき：

   x = 2 × 1 + 0 = 2
   x₂x₁ = 01(2) = 1(10)
   int(22) = 1
   2x − 3 × int(x2) = 4 − 3 = 1（確認一致）

   x₁ = 1、x₂ = 1 のとき：

   x = 2 × 1 + 1 = 3
   x₂x₁ = 11(2) = 3(10)
   int(32) = 1
   2x − 3 × int(x2) = 6 − 3 = 3（確認一致）

   
   
   

したがって、2進数 x₂x₁ が表す整数は、x を用いて表すと 2x − 3 × int(x2) となります。